Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно вырожден. Пусть собственному значению E оператора H принадлежат две функции (f = 2): j и j . Любые две функции j и j, получающиеся из j и j и путем ортогонального преобразования, будут также собственными функциями оператора H , принадлежащими уровню E . Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1))

(69.1)

(69.1') Чтобы удовлетворить условию ортогональности (68.2), положим

(69.2) причем q и b здесь два произвольных угла. Таким образом,

(69.3) представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню E .

Ортогональность и нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, коэффициенты a (69.2) удовлетворяют условию ортогональности (68.2). При b = q = 0 из (69.3) получаются исходные функции j и j . Пусть теперь наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущенной системы, т.е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов b и q будут зависеть от вида возмущения W. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты c и c в суперпозиции

(69.4) Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются из уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном случае имеет вид

(69.5) где W , W , W , W ¾ матричные элементы энергии возмущения:

(69.6)

(69.6')

(69.6'') Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид

(69.7) где e ¾ поправка в энергии k-го уровня:

(69.8)

Раскрывая определитель (69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня

(69.9) Из уравнений (69.5) находим

(69.10) Полагая

(69.11) и подставляя в (69.10) первый корень (e , знак +), получим

(69.12) а для второго корня (e , знак ¾).

(69.12') Таким образом, получаются следующие решения (в "х"-представлении):

(69.13) и

(69.13') причем

(69.14)

(69.15) Весьма важным является частный случай, когда

(69.16) Для этого случая имеем

(69.17)

(69.17')

Преобразование (69.3) есть поворот. Мы можем получить прямую геометрическую аналогию, если будем считать b = 0 (это требует, чтобы W = W ). Тогда коэффициенты a действительны. Частные значения коэффициентов a ¾ коэффициенты с ¾ также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать, полагая c = , c = : (69.18) (индекс k мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы

(69.19) то средним значением энергии возмущения в состоянии (69.18) будет

(69.20) Согласно (69.6) получим

(69.21) Это уравнение можно рассматривать как уравнений кривой второго порядка на плоскости ( , ). Таким образом, среднее значение W есть квадратичная форма от амплитуд ( , ), представляющих состояние .

Введем теперь вместо системы координат новые координаты , отличающиеся от первых поворотом на угол q

(69.22) Подставляя в (69.18), получим:

(69.23) Относительно функций j и j матрица W должна быть диагональной. Действительно

(69.24) Поэтому среднее значение в состоянии представится теперь в ином виде:

(69.25) т.е. в новых переменных , средняя энергия является кривой второго порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52).

Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кривой второго порядка (отнесение к главным осям). В более общем случае и комплексны, поэтому полного совпадения задач нет, но аналогия сохраняется, если и и в этом случае рассматривать как координаты точки.