Полученные выражения носят общий характер, из них можно получить конкретные выражения для полей, если подставить выражение для объемной плотности захваченного заряда ρ(х).

Электрет с поверхностным зарядом

Рассмотрим, например, случай, когда заряд распределен по поверхности с поверхностной плотностью ст. Найдем выражение для

объемной плотности заряда.

Рассмотрим рис. 14

Рис. 14

Выделим на пленке участок площадью S и объемом V =Ss. Полный заряд выделенного участка Q=σS. С другой стороны, этот же заряд можно вычислить через объемную плотность заряда:

откуда получаем связь σ и р(х):

(22)

Плотность заряда ρ(х)в пленке всюду равна 0, и только на самой поверхности (при х=s) обращается в бесконечность, так как весь заряд сосредоточен в слое бесконечно малого приповерхностного объема. В математике известна функция, обладающая такими свойствами - дельта-функция Дирака δ(х). Она равна нулю при всех значениях аргумента, кроме х = 0, при котором обращается в бесконечность. Логично поэтому представить объемную плотность заряда ρ (х) в виде произведения некоторой постоянной а на дельта-функцию δ(х-s), принимающую бесконечное значение при х = s:

ρ(x)=aδ(x-s) (23)

Дельта-функция обладает следующим свойством:

(24)

где f(x)- произвольная функция.

Бесконечные пределы можно заменить на конечные, включающие точку «скачка» дельта-функции, поскольку вне этой области подынтегральное выражение равно нулю. В нашем случае достаточно ограничиться пределами от 0 до s. Интегрируя (23) в этих пределах, по свойству (24) получаем:

(25)

Сравнивая с (22), приходим к выводу, что постоянная а равна δ. Таким образом, выражение для ρ(х) приобретает вид:

ρ(х)=σδ(x-s) (26)

Вычислим поля Е и E1, подставив в общие формулы (20) и (21) выражение (26):

Откуда после, несложных преобразований, получаются уже известные нам формулы (10) и (11).