Сравнивая это с предыдущим выражением для ∆k, мы находим

(4.23)

Имея в виду, что есть скорость частицы v0 внутри барьера и что k0 ≈ 1/r1 = 1/r0 (ro радиус ямы), мы получаем из (4.23) И (4.13)

(4.24)

Эта формула имеет простое наглядное толкование. есть число ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспо­ненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.

Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к

приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера

.

Рост ψ111 вытекает из требования, чтобы имелось только, излучение, и отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, выле­тевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | ψ1 |2 внутри самого барьера была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось все время от t=∞) и что к моменту начала излучения | ψ1 |2 было конечно. Поэтому наш вывод о том, что ψ111 > ∞ при r → ∞, вывод, относящийся к частицам, выле­тевшим очень давно, неверен, и само найденное, решение справедливо; лишь для небольших r, именно для

Отметим, что в связи с формулой (4.7) в литературе часто говорят о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное вами состояние

не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стацио­нарные состояния гармонически зависят от времени).

Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить ψ (г, t) по соб­ственным функциям ψE (r) оператора. Так как U (r) > 0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр 0 ≤ E < +∞ ; Если положить

(4. 26)

то w (Е) dE'= | С (Е) |2 dE дает искомую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией ψ (r, t) (4.25), так как она правильна лишь для не очень больших r. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что ψ(г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функций ψ (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции ψ (г, 0) соответствует тому факту, что при t = 0 частица находится во внутренней области барьера. Определим амплитуду a (t)-, с которой представлено состояние ψ (r, 0) в состоянии ψ (r, t). Имеем

(4. 27)

Подставляя сюда ψ (r, t) и ψ* (г, 0) из (4.26) и пользуясь ортогональностью функций ψе (r), найдем

(4.28)

Величина Р (t) = | a (t) |2 дает, очевидно, закон распада состояния ψ{г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии ω (Е) dE в начальном состоянии.

Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем ψ (г, 0) так, чтобы ψ (г, 0) = ψ (г) внутри барьера и ψ (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь ψ (г, t) из (4.25) в (4.27), мы можем игнорировать возрастание ψ 0 (г) вне барьера, так как там ψ (r, 0) = 0. В силу совпа­дения ψ (r, 0) и ψ (r) внутри барьера и считая, что ψ (г, 0) нор­мировано к 1, получим